INTRODUCCIÓN
La Olimpiada Costarricense de Matemáticas para la Educación Primaria-MEP (OLCOMEP) surge como una iniciativa con cobertura nacional desde el año 2015, cuya finalidad es estimular y desarrollar las capacidades de resolución de problemas matemáticos de la niñez, mediante una competencia sana entre estudiantes de diferentes regiones educativas del país. La olimpiada está dirigida a niños de I y II ciclos de la educación general básica (7-12 años) de centros educativos públicos y privados. La competencia se estructura en cuatro etapas en las que los discentes compiten con sus pares del mismo nivel educativo, desde su institución (etapa 1) hasta llegar a una competencia nacional (etapa 4).
La OLCOMEP pretende propiciar el desarrollo de capacidades, generar actitudes y creencias positivas hacia la disciplina, contribuir a la mejora de la calidad educativa del país y brindar oportunidades a estudiantes talentosos en el área de matemática. Se promueve que ellos tengan oportunidad de seguir desarrollando sus habilidades, apoyado por la Ley N.º 8899 (Ley para la promoción de la alta dotación, talentos y creatividad en el sistema educativo costarricense) y asegurando la financiación del proyecto mediante la Ley N.° 8152 sobre el Financiamiento Permanente para la Organización y el Desarrollo de las Olimpiadas Costarricenses de Matemáticas.
En vista de que uno de los fines primordiales de la OLCOMEP es la promoción del talento matemático, se debe tener una definición clara de lo que se entiende por ello y una serie de indicadores que permitan determinar si un problema es pertinente para medir o promover el talento matemático, por lo que es de suma importancia una caracterización clara y precisa del constructo de la prueba.
TALENTO MATEMÁTICO
En general, el talento se define como una habilidad específica, que es posible desarrollar. De acuerdo con la Real Academia Española (RAE, 2001), se refiere a la capacidad para el desempeño de alguna actividad, una cualidad individual. Gagné menciona que el talento denota la posesión de habilidades, destrezas y conocimientos desarrollados sistemáticamente en al menos un campo de actividad humana, planteándolo como asociado a destrezas y aptitudes más específicas. Las aptitudes naturales se refieren al potencial de una persona que, debido a la influencia positiva que sobre él ejercen el medio y la sociedad (familia, escolarización, entre otras), en conjunción con sus características intrapersonales (como motivación y confianza), hace que sus habilidades se desarrollen sistemáticamente derivando en talento para un campo determinado (Gagné, 1993).
Respecto al talento matemático, Passow (1993) indica que las personas con este talento se caracterizan por demostrar aptitudes específicas en el área de matemática por encima de la media. El talento matemático se refiere a una habilidad inusual para entender las ideas matemáticas y razonar matemáticamente, en lugar de solo saber hacer cálculos aritméticos o conseguir calificaciones excelentes en matemáticas (Miller, 1990). Por su parte, Wenderlin (1958), citado en Espinoza (2011), al referirse a la noción de talento orientado al logro o rendimiento, considera que la capacidad matemática comprende aspectos como: habilidad para comprender la naturaleza de los problemas, símbolos y reglas matemáticas; aptitud para aprenderlas, retenerlas en la memoria y reproducirlas; facilidad para combinarlas con otros problemas, símbolos, métodos y reglas, y la competencia para emplearlas en la resolución de tareas matemáticas.
En referencia a lo anterior, se puede concluir que los estudiantes con talento matemático tienen habilidades para el aprendizaje de las matemáticas por encima de la media, se diferencian del resto de compañeros por su facilidad para comprender y aprender métodos, combinarlos y utilizarlos en la resolución de situaciones problema. Un ejemplo clásico de esto, en la historia de las matemáticas, es la anécdota del joven Carl Friedrich Gauss, un niño alemán que asistía a una escuela local a sus diez años. Con el objetivo de mantener a la clase atareada y en silencio durante un buen rato, su maestro tuvo la idea de hacer sumar a sus alumnos todos los números de 1 al 100. Casi de inmediato, Gauss le dijo al maestro: “Ya está”. Posteriormente al revisar el maestro los resultados, se sorprendió al ver que Gauss era el único con la respuesta correcta (5050); sin ningún cálculo accesorio, el niño había hecho el cálculo mental de sumar una progresión aritmética sumando términos igualmente alejados de los extremos (Boyer, 2010). El proceso de Gauss había sido algo así: él colocó los números de forma creciente y luego decreciente:
Notando que la suma entre las parejas de números de la línea superior y la inferior era siempre la misma (101), así la suma de ambas líneas de números sería equivalente a sumar cien veces 101. Por lo tanto, el resultado buscado era la mitad de eso, ya que él solo quería saber el resultado de sumar una fila de números, no las dos. Así, se obtiene que la mitad de 100 por 101 era la respuesta a la pregunta de su maestro (5050).
En el ámbito de las olimpiadas costarricenses de primaria, podemos encontrar respuestas de los niños que nos sorprenden también con su ingenio; por ejemplo, ante el problema: “Los niños de la sección 6-B deciden hacer una piñata para la fiesta de la alegría. Ellos mismos la construyen en la clase de arte y recogen dinero para rellenarla. Utilizan 1/5 del dinero para comprar maní y 2/3 para comprar dulces. Si con los restantes 2700 compraron el confeti, ¿cuánto dinero recogieron para rellenar la piñata?”
Uno de los estudiantes utiliza el razonamiento inverso para resolver el problema, lo cual no es habitual en los niños de esta edad. Primero, suma las fracciones que ha gastado, 1/5+2/3, obteniendo que ha gastado trece quinceavos del dinero, lo que implica que lo restante serían dos quinceavos del total. De esa forma obtiene que 2700 son dos quinceavos del total y, por tanto, la cantidad total del dinero está formada por quince partes iguales que valen 1350 cada una; es decir, el total es de 20250 colones.
Cabe resaltar lo mencionado por los últimos dos autores, que refleja la estrecha relación entre el talento matemático y el proceso de resolución de problemas, siendo este la cumbre en el aprendizaje de las matemáticas al implicar en el estudiante procesos cognitivos superiores.
CARACTERIZACIÓN DEL TALENTO MATEMÁTICO
Para concretar el constructo “talento matemático” es necesario llegar a una caracterización de lo que se entiende por este y determinar los componentes que lo conforman. Al respecto, Ramírez (2012) realiza una síntesis de aportes de diversos investigadores. En la tabla 1 se presenta una comparación global de la caracterización planteada por tres autores destacados en el tema.
Tabla 1. Características del talento matemático, según diversos autores.
| Greenes (1981) | Miller (1990) | Freiman (2006) |
| Formulación espontánea de problemas | Pregunta espontáneamente cuestiones que van más allá de las tareas matemáticas que se le plantean | |
| Flexibilidad en la manipulación de datos | Gran capacidad para pensar y trabajar con problemas matemáticos en forma flexible y creativa | Cambia fácilmente de una estrategia a otra, de una estructura a otra. |
| Habilidad para la organización de datos | Rapidez para aprender, entender y aplicar las ideas matemáticas | Localiza la clave de los problemas. Busca patrones y relaciones, construye nexos, lazos y estructuras matemáticas. Mantiene bajo control los problemas y su resolución. Presta atención a los detalles. |
| Agilidad mental para el flujo de ideas (pensamiento divergente) | Produce ideas originales, valiosas y extensas. Desarrolla estrategias eficientes. | |
| Originalidad de interpretación | Piensa de modo crítico. | |
| Habilidad para transferir ideas | Especial destreza para transferir los conocimientos adquiridos a nuevas situaciones matemáticas | |
| Habilidad para generalizar | Habilidad especial para trabajar de forma abstracta y ver relaciones entre objetos matemáticos | |
| Entusiasmo inusual y una gran curiosidad sobre la información numérica | Persiste en la consecución de los objetivos que se propone. |
A partir de esta información, Ramírez (2012) infiere que el constructo talento matemático ha sido definido en términos de superioridad en procesos matemáticos, por lo cual se definirá el nivel de este talento en función de los procesos matemáticos presentados por los estudiantes. Debido a que uno de los objetivos centrales de la olimpiada es identificar a los estudiantes con talento matemático superior entre todos aquellos que muestran talento, es preciso concretar los logros y habilidades manifestadas por dichos estudiantes.
En este sentido, en la tabla 2 se presenta la lista de habilidades que concretan el constructo de talento matemático que se contempla en la OLCOMEP. Esta lista se ha elaborado a partir de las siete características establecidas por Greenes (1981), se ha reelaborado con las nociones de otros autores y se ha complementado con descripciones suscitadas por la reflexión de las autoras de este trabajo.
Tabla 2. Descripción de habilidades que caracterizan el talento matemático.
| Habilidades | Descripción |
| Flexibilidad en manejo de información | Capacidad para trabajar con los problemas de forma flexible y creativa. Comprender la información y la situación planteada, determinar las condiciones del problema. Utilizar con fluidez diversas representaciones matemáticas y realizar traducciones entre estas. |
| Pensamiento divergente y uso de estrategias | Mostrar agilidad mental en el flujo de ideas, producción de ideas originales, valiosas, extensas. Generar conjeturas. Cambiar fácilmente de estrategia o de estructura, elegir la más pertinente. |
| Interpretación | Mostrar originalidad en la interpretación de información, manifestar pensamiento crítico al interpretar la información. Trasladar la solución matemática al contexto del problema, evaluar la razonabilidad de la respuesta. |
| Transferencia | Destreza para transferir ideas y conocimientos adquiridos a nuevas situaciones. Evidenciar capacidad para comprender y aplicar ideas matemáticas, construir nexos y estructuras matemáticas. Por ejemplo, asociado a los ítems donde se plantea una condición o propiedad que deben aplicar posteriormente. |
| Generalización | Habilidad para trabajar de forma abstracta a partir de casos particulares y determinar relaciones entre objetos matemáticos. Capacidad para describir mediante alguna representación el patrón que subyace a una relación matemática. |
Fuente: Elaboración propia.
Algunas de las características mencionadas por diversos autores (Freiman, 2006; Gagné, 1993; Greenes, 1981; Krutetskii, 1976; Miller, 1990) coinciden con las contempladas en la tabla anterior. De manera complementaria, observamos un componente constante de gran importancia: la resolución de problemas, proceso que se señala como determinante en la caracterización y desarrollo del talento matemático. Los indicadores mencionados están inmersos en este proceso matemático, por lo cual se decidió utilizar esta actividad como sustrato en la elaboración de las pruebas de OLCOMEP, de manera que el estudiante debería evidenciar los indicadores de la tabla 2 en la resolución de situaciones problema.
Seguidamente, se presenta una serie de ejercicios que pretenden ejemplificar la forma en que un estudiante podría evidenciar las habilidades contempladas en la tabla 2, con la finalidad de promover una interpretación y comprensión adecuadas de estas, mostrándolas en el marco de un proceso de resolución de problemas. Es importante recalcar que cada ejercicio se utiliza para ejemplificar una habilidad; esto no implica que no permita también evidenciar otras de las habilidades, lo cual es común; sin embargo, se resaltará una habilidad específica en cada ejemplo.
FLEXIBILIDAD EN EL MANEJO DE INFORMACIÓN
Soy un número impar mayor que 45 y menor que 70. Si soy divisible por 3 y el dígito de mis unidades es la mitad que el dígito de las decenas, entonces ¿qué número soy?
Ejemplo 2. Resolución de estudiante1 a problema 1 de desarrollo, prueba III fase OLCOMEP, 2019.
El estudiante debe realizar una lectura inicial del problema para conocer la información con la que trabajará, determinar qué es lo que se pregunta y qué deberá hacer para determinarlo. Con miras a esto, es primordial que comprenda la información planteada, el contenido matemático presente en cada condición y que pueda relacionar esta información con el valor particular buscado. Para solucionar este problema, debe realizar un recorrido por las condiciones e interpretar la primera de ellas, determinar el universo de posibles respuestas, considerar la siguiente condición y relacionarla con el grupo de posibles respuestas, reduciendo gradualmente el número de posibles valores que satisfacen el planteamiento. Finalmente, al considerar la tercera condición e interpretarla dentro del conjunto de posibles respuestas solo hay un valor que la satisface, y de esta forma se obtiene la respuesta2.
Esta no suele ser una estrategia tradicional al resolver un problema, al no involucrar la aplicación de algoritmos, por lo que se evidencia la capacidad de flexibilidad y creatividad en el manejo de la información, ya que es de suma importancia comprender la información implicada en cada una de las condiciones del problema y la forma en que afectan las posibles respuestas.
PENSAMIENTO DIVERGENTE Y USO DE ESTRATEGIAS
Este ejercicio se les plantea a alumnos de primer ciclo (7 a 9 años), que aún no conocen los contenidos de proporcionalidad y regla de tres, por lo que deben desarrollar algún otro método para interpretar y organizar la información de forma que les permita establecer una relación entre los litros y la cantidad de vasos que contienen para llegar a la respuesta. Los discentes pueden optar por diversidad de posibles estrategias para organizar la información, es decir, puede que varios alumnos lo resuelvan con éxito pero cada uno de ellos lo plantee de una forma diferente (agrupando, pensando cuántos vasos equivalen a un litro, pensando en la capacidad específica de cada vaso, entre otras), ya que entra en juego la capacidad del estudiante para producir ideas originales, elegir la estrategia que considere más acorde y ejecutarla. Así como la capacidad de generar sus propias conclusiones o conjeturas, a partir del manejo de los datos que va desarrollando para poder aplicar esas conjeturas a otro grupo de datos similares hasta llegar a la respuesta deseada. Es importante analizar los ejercicios considerando el nivel educativo para el cual se pretenden plantear, ya que un ejercicio que puede representar un problema para un estudiante determinado, para otro alumno de un grado superior no es más que un ejercicio (sin alcanzar a ser un problema).
INTERPRETACIÓN
Para una fiesta familiar, Arelis compra un paquete de globos y otro de antifaces; pagó por esa compra c/.5500. Si la bolsa de antifaces cuesta c/.100 más que el doble del precio de los globos, entonces ¿cuál es el precio del paquete de antifaces?
Ejemplo 4. Cuadernillo de práctica para el estudiante. Quinto año 2018 – Ítems de práctica, problema 1.
Este problema corresponde a quinto grado (11 años de edad). Los estudiantes a este nivel aún no conocen las ecuaciones, por lo que deben interpretar la información brindada de forma original, y representar los datos mediante alguna estrategia que consideren apropiada para ser capaces de manipular la información. Trabajar en el contexto matemático estos datos y las relaciones entre ellos, para determinar una solución y luego trasladarla al contexto del problema, donde valorarán la razonabilidad de esta.
GENERALIZACIÓN
Resolver esta situación exige implementar las capacidades básicas que caracterizan el proceso de generalización matemática (Cañadas, 2007): interpretación del caso particular mediante el cual se presenta la situación, mismo que funciona como sustrato para validar una primera conjetura, la identificación de otros casos particulares (10 o 50 casas), la observación de una regularidad y búsqueda de un patrón que sea válido para más casos (es la esencia de la generalización), la formulación de conjeturas o posibles reglas que subyacen a la situación, la expresión de la conjetura de manera general y posteriores procesos de validación que otorgan certeza a la conjetura enunciada.
TRANSFERENCIA
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios. Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y
6 = 1 + 2 + 3. ¿El número 30 es un número perfecto?
Ejemplo 6. Elaboración propia.
CONSIDERACIONES FINALES
El talento matemático se valora en las pruebas de la OLCOMEP mediante la resolución de problemas matemáticos. Desde la perspectiva del Ministerio de Educación Pública (MEP), se asume que un problema debe poseer una complejidad tal que provoque una acción cognitiva no simple; en este sentido las acciones rutinarias como algoritmos, ejercicios, aplicación de reglas o simples cálculos de operaciones no se consideran problemas. Para Carrillo (1996), el concepto de problema debe asociarse a la aplicación significativa (no mecánica) del conocimiento matemático a situaciones no familiares, la consciencia de tal situación, la existencia de dificultad a la hora de enfrentarse a ella y la posibilidad de ser resuelta aplicando dicho conocimiento.
En la elaboración de dichas pruebas se pretende, principalmente, la elección, construcción y juzgamiento de ítems que realmente respondan a la medición del talento matemático mediante la resolución de problemas. Por lo cual es primordial una concepción clara del constructo “talento matemático” y las habilidades que lo caracterizan, las cuales se procura evidenciar en la prueba por medio de los ítems planteados. Por lo tanto, se considera que la descripción del constructo, su definición y la ejemplificación de las habilidades asociadas son de gran relevancia para la elaboración o selección de problemas que vayan a ser incluidos dentro de una prueba de olimpiadas.
Es conocida la relevancia de este tipo de competencias, ya que, en general, para el país la promoción del desarrollo de estudiantes con talento matemático es de suma importancia, principalmente porque de manera paralela a las capacidades cognitivas vinculadas con el desarrollo del talento matemático es preciso subrayar que la participación en dicha actividad estimula habilidades intra e interpersonales, fundamentales para el desarrollo de las personas, por ejemplo: perseverancia, disciplina, organización del tiempo, empatía, deseos de superación, solidaridad, entre otras. En este sentido, Mason, Burton y Stacey (citados en Blanco y Caballero, 2015) señalan que, probablemente, la lección más importante que podríamos aprender es que estar atascado o bloqueado en un problema es una situación muy digna, que constituye, además, una parte esencial del proceso de mejora del razonamiento. De hecho, se puede aprender mucho más de un intento de resolución fallido que de una cuestión resuelta con toda rapidez y sin dificultades, siempre que uno piense seriamente sobre ella.
Por lo tanto, son múltiples las razones que sustentan la importancia de promover el talento matemático en nuestro contexto educativo, primordialmente en etapas iniciales, y es una lástima que, en ocasiones, estudiantes con gran potencial no sean estimulados de forma apropiada. Por el contrario, cuando un alumno manifiesta facilidad para la comprensión y construcción de ideas matemáticas suele completar rápidamente los trabajos cotidianos en el aula y asociadas a este hecho se dan, por lo general, dos posibles situaciones. La primera es que después de terminar su trabajo no se le provea de otros problemas matemáticos pertinentes para sus capacidades, de manera que se sienta aburrido, sin retos y dedique su tiempo a interrumpir el trabajo de otros compañeros, obstaculizando el aprendizaje y el ambiente de clase propicio para esto. La segunda situación que comúnmente se presenta en las aulas con niños talentosos es que lo consideren como un “asistente del docente”, es decir, es el estudiante que borra la pizarra, va por fotocopias, les explica a sus compañeros… todas buenas acciones pero que, al fin y al cabo, no derivan en un fortalecimiento de las habilidades matemáticas del estudiante. Tal como menciona el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1980), los estudiantes más olvidados en términos de alcanzar su desarrollo potencial son los estudiantes con talento en matemáticas. La habilidad matemática resultante es un recurso valioso para la sociedad, tan necesario para mantener el liderazgo en un mundo tecnológico (p. 18). La potenciación de estos estudiantes promueve el desarrollo de muchas otras habilidades que favorecerán el desenvolvimiento a lo largo de su vida, como se menciona en Fernández y Pérez (2011): “el aprendizaje de las matemáticas puede ser una estimulación para el desarrollo de las capacidades en general y, si los métodos de enseñanza que se utilizan son los adecuados, se conseguirá tanto el desarrollo de las capacidades cognitivas básicas (atención, memoria, análisis, síntesis…) como de las habilidades metacognitivas (planificación, supervisión de la tarea, control ejecutivo…)” (p. XX). Sin embargo, es importante tomar en cuenta las consideraciones presentadas en este trabajo para que las actividades dirigidas a evaluar el talento matemático realmente tengan claro lo que se pretende evaluar y elaboren instrumentos acordes con el constructo, para no entorpecer el proceso de desenvolvimiento de estos estudiantes, con pruebas que no responden a lo que se pretende medir.
1 Los cuadernillos de OLCOMEP pueden accederse en: https://recursos.mep.go.cr/olimpiadas_matematicas/
2 En los cuadernillos previamente mencionados vienen los problemas con la respectiva explicación del proceso de resolución y su respuesta.
Constructo de una prueba de Olimpiada Matemática. Mónica Mora-Badilla, Gabriela Valverde-Soto. Revista Umbral, volumen 45, N.º 1. Julio, 2020 (E-ISSN 2215-6178).
Acerca del autor
Docente e investigadora en la Facultad de Educación de la Universidad de Costa Rica
Docente en la Sección de Educación Primaria de la Universidad de Costa Rica
